Нормальные моды одномерной моноатомной решетки Браве
 Рис. 6.1 |
Представим себе одномерную цепочку с периодом а. Энергия деформации цепочки
Uharm = (1/2) | (6.11) |
n[x(na) - x((n+1)a)]2,
2U/Уравнение движения атомов в цепочке
M[d2x/dt2] = - [ | (6.12) |
В качестве граничного условия выбирается условие Борна-Кармана:
x((N+1)a) = x(a); x(0) = x(Na), N - число узлов | (6.13) |
Дана схема, изображенная на рисунке 2.9.
Решение:
x(na,t) ~ exp[i(kna- | (6.14) |
Периодические условия Борна-Кармана дают N неэквивалентных значений волнового вектора k:
exp(ikNa) = 1 | (6.15) |
k = (2Будем считать,
что -(
/a) < k < (/a),
Подставляя решение (6.14) в уравнение (6.12):
-M
2exp[i(kna-t)
= -
[2-exp(-ika)-exp(ika)]exp[i(kna-t)]=
2(1-cos
ka)exp[i(kna-t)].
Отсюда,
| (6.16) |
 Рис.6.2. Дисперсионная зависимость для моноатомной цепочки |
Закон
дисперсии (k) (6.16) проиллюстрирован
на рис.6.2. Фазовая скорость волны: vф = /k,
групповая скорость: v = d/dk.
В длинноволновом пределе, т.е. при k<</a,
имеем линейный закон дисперсии
| (6.17) |
Фазовая и групповая скорости при этом совпадают.
В металлах учет только взаимодействия с ближайшим соседом не достаточен из-за
коллективизации электронов проводимости. Часто оказывается необходимым учитывать
взаимодействие атомов около 20 ближайших атомов в цепочке. Соотношение (6.16)
в этом случае необходимо записать в обобщенном виде, просуммировав по ближайшим
атомам в цепочке:
| (6.18) |
Уравнение (6.18) связывает закон дисперсии с силовыми постоянными 
p и может быть
использовано для определения последних. Умножив обе части уравнения (6.18) на
cos rka, где r - целое и проинтегрировав по k от -/a до /а,
можно получить
| (6.19) |
dk
