M1[d2x1/dt2]
= -
[2x1(na)-x2((n-1)a)-x2((n+1)a]
(6.20a)
M2[d2x2/dt2]
= -
[2x2(na)-x1((n-1)a)-x1((n+1)a]
(6.20б)
Нормальные моды одномерной двухатомной решетки.
В одномерной решетке с двумя атомами в базисе уравнение движения для атомов можно записать в виде
M1[d2x1/dt2]
= - | (6.20a) |
M2[d2x2/dt2]
= - | (6.20б) |
где М1,2, х1,2 - массы и мгновенные координаты
первых и вторых атомов, положение равновесия которых na и (n+1/2)a, соответственно.
Ищем решение в форме бегущих волн:
x1(na) = | (6.21а) |
x2(na) = | (6.21б) |
Периодические граничные условия Борна-Кармана, так же как в одномерной цепочке, дают N неэквивалентных значений k:
k = (2 /a)(n/N) | (6.22) |
Подставляя x1 и x2 (6.21) в уравнение движения,
сокращение множитель exp[i(kna-
t)]
получаем:
[M1 | (6.23а) |
| (6.23б) |
Решение (6.23) имеется, если детерминант, составленный из коэффициентов, равен нулю. Отсюда получаем закон дисперсии:
M1M2 | (6.23а) |
Корни этого уравнения равны
| (6.24) |
 Рис.6.3. Акустическая и оптическая ветви (k)
для двухатомной линейной цепочки |
В длинноволновом приближении (ka<<1)
| (6.25а) |
| (6.25б) |
З-н
дисперсии (6.25а) соответствует уже знакомой линейной зависимости (k), называемой акустической
ветвью колебаний, а (6.25б) - оптической ветвью, в которой зависимость от k очень слаба. На границе
1-й зоны.Бриллюэна,
при k = + /a,
корни равны
| (6.26) |
 Рис.6.4. Поперечные акустическая и оптическая моды в биатомной цепочке |
Зависимость (k) для M1 >
M2 изображена на рис. 6.3.
Если подставить з-н дисперсии для оптической ветви (6.25б) в (6.23) в длинноволновом пределе мы получим
| (6.27) |
Т.е. в этом режиме атомы колеблются в противофазе, при этом центр тяжести не смещается. Если соседние атомы имеют противоположный знак заряда, как в ионных соединениях, то такой режим колебаний можно возбудить электрическим полем световой волны, откуда идет название - "оптическая" мода колебаний.
| На главную сайта Dvoika.net |
1exp[i(kna-
[(1/ M1 + 1/M2)2 - 4/(M1M2)
sin2(ka/2)]1/2 
(акустическая ветвь)