Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

    Несмотря на простоту одномерных случаев, они выявляют важнейшие свойства, характерные для двух и трехмерных решеток: существование акустических и оптических дисперсионных мод колебаний, роль межатомных короткодействующих и дальнодействующих сил. В 2D и 3D случаях возникает лишь одна дополнительная характеристика, связанная с поляризацией волн в решетке.
    Согласно (6.10)

U^harm = (1/2)_{, ,R,R'} r(R) D(R-R')r(R'),
где D(R-R') = _{R,R' R''} [U (R-R'') - U(R-R')].

Или в векторно-матричном виде

В 3D кристалле мы имеем 3N уравнений движения.

или

Ищем решение в виде, аналогичном (6.14):

где - вектор поляризации нормальной моды. Граничное условие Борна-Кармана:

где N_i - число узлов в i-том направлении, i = 1,2,3, и N₁N₂N₃ = N - полное число частиц. В соответствии с условием (6.31) для волнового вектора k допускаются лишь дискретные значения:

  где n_i - целое, b_i - вектор обратной решетки, удовлетворяющий условию b_ia_j = 2_ij . Подставляя (6.30) в (6.28) получаем:

где - собственный вектор 3D-задачи на собственные задачи, а

Можно показать, что D(k) есть четная функция от k и действительная, симметричная матрица. В матричной алгебре существует теорема, согласно которой каждая действительная симметричная трехмерная матрица имеет три действительных собственных вектора ₁, ₂,  ₃, удовлетворяющих уравнению

и допускающих нормировку:

Три нормальные моды колебаний с волновым вектором k будут иметь указанные векторы поляризации e _s(k) и частоты _s(k), определяемые соотношением

Также как и в одномерном случае, (k)0 по линейному закону при k0, т.е. в длинноволновом пределе

где с_s(k) - коэффициенты, зависящие как от направления распространения волны k = k/|k|, так и от номера ветви колебаний s. Таким образом, как и в 1D случае, в моноатомной решетке будут присутствовать только акустические моды колебаний.