Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Рис.6.5. Дисперсионные кривые в 3D-случае

Закон Дюлонга и Пти

    В 1818 г. П.Дюлонг и А.Пти (P.Dulong and A.Petit) экспериментально установили закон, согласно которому теплоемкость С_V всех твердых тел при достаточно высокой температуре есть величина постоянная , не зависящая от температуры и составляющая около 3R25 Дж/( моль К) - значение Дюлога-Пти, т.е. при нагревании любого вещества на 1К каждый атом поглощает одинаковое количество энергии 3k_B . В классической модели твердого тела это объясняется как сумма кинетической энергии, по k_BТ/2 на каждую степень свободы (равнораспределение), и потенциальной энергии, равной кинетической. Т.е. энергия 1 моля вещества - U = 3N_ak_BT, а его теплоемкость - С_V = (U/T)_V = 3N_ak_B = 3R, в полном соответствии с законом Дюлонга-Пти.
    Однако, приведенное согласие нарушается, если учесть, что в кристалле кроме атомов имеются квазисвободные электроны проводимости, которые согласно классической статистике, так же как и атомы, должны обладать кинетической энергией по k_BТ/2 на каждую из 3-х степеней свободы, т.е. полная энергия, и соответственно, теплоемкость одновалентного металла в 1.5 раза больше, чем значение Дюлонга-Пти, а именно, С_V = (9/2)R. Т.о. в рамках классического подхода остается необъяснимым, почему электроны не дают вклад в теплоемкость? Второй принципиальный вопрос, на который классический подход не дает правильного ответа - вопрос о температурной зависимости теплоемкости. В отличие от классического предсказания, экспериментальные данные свидетельствуют о том, что С_V const. Эти проблемы решены в квантовой теории динамики решетки

Квантовая теория теплоемкости.

Кристалл как квантовый гармонический осциллятор. Фононы. В рамках этой модели твердое тело представляется как совокупность 3N независимых осцилляторов (где N - число атомов в кристалле) частоты которых равны частотам 3N классических нормальных мод, рассмотренных выше. Вклад в полную энергию одной нормальной моды с частотой _s(k) может принимать значение из дискретного набора (n_ks + 1/2)_s(k), где n_ks - целое число, показывающее степень возбуждения нормальной моды. Квант _s(k) такого возбуждения называют фононом, а число n_ks называют числом фононов типа s и волновым вектором k. Полная энергия кристалла равна сумме энергий отдельных нормальных мод или сумме всех фононов в кристалле:

Фононы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Среднее число фононов с энергией ? w _s(k) в одной ячейке фазового пространства (2p )³ равно

Полная энергия теплового движения в этом случае равна:

Соответственно, теплоемкость