Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Теплоемкость при высоких Т

    k_BT>> , т.е. каждая мода находится в высоковозбужденном состоянии n(k,s)>>1, или x = /k_BT<<1. Т.o.

Если оставить только 1-й член, то С_V = (1/V) _ks k_B T/T = (3N/V) k_B - закон Дюлонга-Пти! Следующий член не зависит от температуры и C_V⁽²⁾ = 0. Таким образом, главная поправка обусловлена третьим членом в ур. (6.44). Третий член дает:

Эта поправка не включает, естественно, ангармонические поправки, которые действительно становятся важными при высоких Т. Об этом в Л.8.

    Для достаточно больших кристаллов (L>>a) набор дискретных значений k становится плотным (k = (2/V)³ и сам вектор k -квазинепрерывным. Поэтому суммирование можно в (6.43) можно заменить интегрированием:

где интегрирование происходит по первой з.Б. При k_BT<<, основной вклад дают длинные волны. Отсюда,

1. Не учитываются оптические моды, поскольку их частоты, за редким исключением, ограничены снизу.
2. Точный закон дисперсии 3-х акустических ветвей _s(k) заменяем линейной зависимостью от |k|, а именно,

где v_s( =k/k), - скорость волны, в общем случае зависящая от направления и моды колебаний.

3. Интегрирование по 1-й з.Б. можно заменить интегрированием по всему к-пространству. Это связано с тем, что подынтегральное выражение пренебрежимо мало при всех v_sk за исключением значений
   v_sk < k_BT. Т.о.

Используя сферическую симметрию k-пространства, dk = k²dkd, и обозначая, х =v_sk/k_BT , получаем

где (1/v³) = (1/3) _s=1³d /(4) (1/v_s()).
Интеграл

Зависимость C_V ~ T³ хорошо согласуется с данными в узком интервале т-р вблизи Т=0К для щелочно-галлоидных кристаллов. Для других металлов необходимо учитывать в низкотемпературном пределе вклад электронов, о чем разговор будет позже.