Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Теплоемкость при промежуточных Т

    Модель Дебая. Используются следующие приближения:

1. Линейный закон дисперсии (6.47) - = v_sk;
2. Не учитываются оптические моды колебаний;
3. o (по 1-й з.Б.) o (по сфере с радиусом k_D)

Радиус сферы k_D выбирается из условия, чтобы сфера содержала N-векторов k, т.е.

(2)³ (N/V) = 4/3 k_D³ k_D³ = 6² N/V

Тогда интеграл (6.48) приобретает вид

C_V = /T 3v/2²k³ dk/[exp(v_sk/k_BT) -1].

Введем частоту Дебая D = kDv и температуру Дебая D = D/kB = vkD/k

(6.51)

Тогда

CV = 9 N/V kB (T/ D)3 exx4/(ex -1)2 dx, - формула Дебая

(6.52)

где х = vk/k_BТ.

Формула Дебая выражает удельную теплоемкость при всех температурах через единственный эмпирический параметр _D. При низких температурах _D/T = 4.15 ⁴ - ф-ла Дебая переходит в (6.50). Смысл дебаевских величин

- k_D^-1 - характеризует среднее расстояние между атомами в кристалле. Если N/V ~ 10²³ см^-3, то k_D = 2 10⁸см, _D = 2/k_D = 3 10^-8<

- _D - имеет порядок максимальной частоты фононов. В решетке не могут распространяться волны с < 2a, следовательно, максимальная дебаевская частота _D = v_sk_D 7 10¹³ см^-1.

- _D - представляет собой характерную температуру, выше которой возбуждены все моды, а ниже - некоторые моды начинают "вымерзать".

Модель Эйнштейна. Модель Дебая, при ее линейном законе дисперсии = vk, не может разумно учитывать оптические моды. Обычно это описание ограничивается 3-мя акустическими ветвями спектра. Оптические ветви учитываются в "эйнштейновском приближении", в котором частоты каждой оптической ветви полагаются не зависящими от k и равными _Е.

В модели Эйнштейна каждая оптическая ветвь вносит вклад в тепловую энергию, равный

Поэтому, при наличии р оптических ветвей, их вклад в удельную теплоемкость

Характерные особенности C_V(Т) по модели Эйнштейна:

а) При высоких Т , _E << k_BT, или Т >> _E = _E / k_B , каждая ветвь дает постоянный вклад
C_V ^opt p N/V k_B - в соответствии с законом Дюлонга-Пти.
б) При Т гораздо ниже т-ры Эйнштейна _E вклад оптических мод в C_V экспоненциально падает, что связано со слабым возбуждением оптических мод при низких Т.

На главную сайта Dvoika.net