Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Ангармонизм колебаний решетки

    Если бы решетка была стационарной, как это считалось при рассмотрении, например, зонной теории, то потенциальная энергия кристалла была бы равна сумме вкладов от всех различных пар:

Если учесть тепловые колебания, то

где r(R_i), r'(R') - мгновенные положения в узле (R_i), S(R_i) = r(R_i) - R_i - смещение i-того атома из узла. Разлагая в ряд Тейлора:

f(r + a) = f(r) + af(r) + 1/2 (a)²f(r) + 1/3! (a)³f(r)+…

полагая r = R-R' и a = S(R_i) - S(R_j) = S_ij

Первый член: N/2 _iV(R_i) = u^eq - есть потенциальная энергия кристалла в равновесии (каждый атом жестко закреплен в равновесном положении).
Второй член: 1/2 _ijS_ijV(R_ij), здесь V(R_ij) = V(R_i - R_j) - есть сила, действующая на атом i со стороны всех атомов j в равновесном положении. Поскольку эта сила в равновесии = 0, то 1-й неисчезающей поправкой в потенциальной энергии является 3-й член.
Третий член: 1/4 _ij(S_ij)²V(R_ij) 0.
    Приближение, в котором ограничиваются членом ~ (S_ij)² в разложении в степенной ряд, называется гармоническим: UU^eq + U^harm, где

4-й и следующие члены дают ангармонические поправки. С учетом ангармонизма

    На практике очень часто останавливаются на учете кубического члена, пренебрегая остальными, хотя, строго говоря, этого недостаточно.

Проявления ангармонизма:

1. С_V всегда остается меньше 3RT (хотя и стремится при T >>    _D к 3RT).
2. Конечная ширина Г > 0 пиков однофононного рассеяния нейтронов (см. Л.7)
3. Эффект теплового расширения
4. Зависимость упругих постоянных от объема и температуры
5. Несовпадение адиабатических и изотермических постоянных
6. Конечная величина теплопроводности диэлектриков. В гармоническом приближении теплопроводность должна быть = .

На главную сайта Dvoika.net