Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Явление радиоактивности Радиация Электромагнитное излучение Действие ионизирующих излучений Поглощенная доза космогенные радионуклиды испытания ядерного оружия ядерный реактор продукты выброса Меры радиационной защиты воздействия радиации

Температурная зависимость коэффициента расширения. Параметр Грюнайзена.

Покажем, что коэффициент теплового расширения альфа пропорционален теплоемкости CvV:

альфа = гаммаCv/3B,

(8.9)

где гамма - т.н. коэффициент Грюнайзена ( Gruneisen constant, не путать с коэффициентом упругости в предыдущем параграфе),

B = -V (P/V)T - модуль всестороннего сжатия (bulk modulus).

(8.10)

Действительно, коэффициент теплового расширения можно записать в виде

альфа = 1/l (l/T)P = 1/3 V(V/T)P[-V/B (P/V)T]

Учитывая, что (V/T)P = -(P/T)v/(P/V)T, получаем

 альфа = 1/3B (P/T)v.

(8.11)

Согласно 1-му и 2-му закону термодинамики

dQ = dU + pdV = TdS; (dS = dQ/T)

Откуда

(U/T)vdT + (U/T)TdV + pdV = T[(S/T)vdT + (S/V)TdV]

И, соответственно,

(S/V)T = 1/T ((U/V)T + P);  (S/T)v = 1/T (U/T)v.

(8.12)

Отсюда мы можем выразить давление лишь через внутреннюю энергию. Для этого заметим, что
2S/VT = 2S/TV, следовательно:

/V[1/T (U/T)v] = /T{1/T [(U/V)T + P]}.

(8.13)

Интегрируя, получаем P = -(U/V)T + TdT' /V[1/T'(U/T’)V] или

P = -/V[U - T dT'/T' /T'U(Т',V)].

(8.14)

    Для внутренней энергии твердого тела воспользуемся выражением для гармонического осциллятора:

U = 1/V sum.gif (81 bytes)k,somegak,s(nk,s+1/2) + Ueq.

(8.15)

где Ueq - потенциальная энергия в равновесии, а nk,s = 1/[exp(omegaks /kBT) - 1]. Однако в отличие от выводов для гармонического осциллятора, будем считать, что частоты колебаний зависят от размеров осциллятора и, подставляя U----> Р ----> альфа = 1/3B(P/T)v, получаем

альфа = 1/3B sum.gif (81 bytes)k,s (-(omegak,s)/V) nk,s /T.

(8.16)

Заметим, что аналогичный вид имеет теплоемкость

Cv = альфа k,somegas(k)/V ns(k)/T.

(8.17)

Если ввести парциальную теплоемкость

Cv,s(k) = omegas(k)/V ns(k)/T

(8.18)

и определить величину гаммаks - параметр (постоянную) Грюнайзена, для моды k,s, как отрицательную логарифмическую производную частоты этой моды по объему, т.е.

гаммаks = -V/omegak,s omegas(k)/V = -(lnomegas(k))/(lnV)

(8.19)

и полный параметр Грюнайзена:

гамма = sum.gif (81 bytes)k,s гаммаk,s Cv,s(k) / sum.gif (81 bytes)k,sCv,s(k)

(8.20)

то тогда получаем

альфа = гаммаCv/3B.

(8.21)

В данном представлении гамма содержит зависимость частот от объема, которая в простейших моделях содержится в одинаковом для всех мод множителе. В этом случае гаммаk,s совпадают для всех мод и гамма = гаммаk,s. В модели Дебая, например, все частоты нормальных мод меняются линейно при изменении частоты обрезания omegaD, поэтому

гаммаk,s = - (ln omegaD)/(lnV).

(8.22)

Рис. 8.1
Рис. 8.1. Зависимость коэффициента Грюнаузена от температуры

    Модуль всестороннего сжатия, В, слабо зависят от температуры, поэтому все теории, в которых параметры γk,s считаются постоянными, предсказывают, что коэффициент теплового расширения должен иметь такую же зависимость от температуры, как и удельная теплоемкость. В частности, альфа тремится к постоянному значению при Т>> θD и α ~ Т3 при Т----> 0 (для неметаллов).
    В реальном твердом теле величины гаммаk,s не одинаковы для всех нормальных мод, поэтому γ = γ(Т). Однако γ ----> к постоянному значению при
Т ----> 0 и гамма стремится к другому постоянному значению при Т >> θD.

 


7271f726
На главную сайта Dvoika.net