Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Температурная зависимость теплопроводности решетки

    Наиболее простой моделью для анализа температурной зависимости теплопроводности является модель газа фононов (МГФ). МГФ оперирует с такими понятиями, как средняя длина свободного пробега фонона _ph, эффективное время релаксации = _ph/v_s, обратной величиной которого, 1/, является средняя частота столкновений фононов. Аналогично тому, как это сделал Друде для газа электронов (см. (1.9), (8.26)), мы можем получить теплопроводность в МГФ:

где С_v удельная теплоемкость, связанная с колебаниями решетки. Величины С_v, или _ph определяют температурную зависимость решеточной теплопроводности. Как зависит С_v от Т мы уже знаем из Л6. Зависимость от Т оказалась более деликатной темой. Рассмотрим 2 случая.

    а) Т >> _D. В этом случае:

Следовательно, вероятность процессов переброса, пропорциональная n_s , с ростом температуры пропорционально увеличивается плотность фононов, а, следовательно, частота столкновений 1/. Следовательно, длина свободного пробега фонона обратно пропорциональна температуре. Это согласуется с экспериментом. Обычно,

где х = 1-2.
Точная теория _lat(Т) должна учитывать конкуренцию между процессами 3-го и более высоких порядков. Члены более высоких порядков разложения гамильтониана ограничены законами сохранения и, поэтому, они малы по величине, но их число гораздо больше, чем число членов третьего порядка.

    б) Т<< _D.
В этом случае фононы будут иметь энергию _s(k) k_BT << k_BD = _D, т.е. _s << _D и k << k_D. Поскольку в процессе 3-го и 4-го порядков участвует небольшое число фононов, то можно считать, что как до, так и после рассеяния, энергия как отдельного фонона, так и суммарная энергия остаются << _D, волновой вектор << k_D. Поскольку дебаевский волновой вектор близок к вектору обратной решетки G, то отсюда следует, что |k_i| << |G| и процессы с G = 0 будут доминировать, а U-процессы запрещены, т.е. происходит "вымерзание" процессов переброса. А, следовательно, если в начальный момент система фононов имела некоторый результирующий импульс, то этот импульс будет сохраняться даже в отсутствие градиента температуры, т.е. для совершенного бесконечного ангармонического кристалла при низких температурах теплопроводность бесконечна, точнее она может быть конечной только лишь за счет небольшой вероятности процессов переброса, нарушающих закон сохранения квазиимпульса, и которые уменьшают тепловой поток.
    Процессы переброса могут реализоваться с какой-то вероятностью, если есть фотоны с энергией, сопоставимой с _D. Число таких фононов

Поэтому число фононов способных к U-процесу, падает по экспоненте с уменьшением температуры. Следовательно, можно ожидать, что при Т << _D, эффективное время релаксации, входящее в теплопроводность, должно изменяться как

где T₀ ~ _D.
    Точное определение величины T₀ требует весьма сложного анализа, позволяющего найти предэкспоненциальный множитель, равный сумме различных степеней Т. Однако, эти поправки не меняют экспоненциального хода температурной зависимости, определяемой "вымерзанием" U-процессов.
    При достижении температуры, где начинаются рост времени релаксации и, соответственно, длины свободного пробега фононов, теплопроводность решетки растет (подтверждается экспериментально). При дальнейшем снижении Т, длина свободного пробега становится сопоставимой со средней длиной свободного пробега, характеризующей рассеяние фононов на дефектах решетки, примесях или даже на торцах конечного образца [это т.н. режим Казимира, Casimir H.B.G., Physica, 5 (1938) 595]. В этом случае,

Итак, для диэлектриков при очень низких температурах, Т<T_max, теплопроводность κ ~ T³ , затем T_max < Т <_D κ ~ exp(T₀/T), далее темп уменьшения спадает и заменяется медленным спаданием κ ~ 1/T из-за увеличения числа рассеивающих фононов.

На главную сайта Dvoika.net