Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Явление радиоактивности Радиация Электромагнитное излучение Действие ионизирующих излучений Поглощенная доза космогенные радионуклиды испытания ядерного оружия ядерный реактор продукты выброса Меры радиационной защиты воздействия радиации

Полуклассическая теория проводимости в металлах. Основы теории рассеяния.

Неравновесная функция распределения электронов.

dN = g_n(r,k,t)drdk/(4³)

(9.2)

Приближение времени релаксации (-приближение).

Будем считать, что вероятность столкновений за dt равна dt/.
Частота столкновений = (время релаксации)^-1, в общем случае зависит от пространственных координат, в. вектора и номера зоны, т.е. = _n(r,k).
Столкновения приближают систему электронов к локальному т/д. равновесию.
Распределение электронов через некоторое время после столкновений не зависит от вида неравновесной функции распределения g_n(r,k,t) непосредственно перед столкновениями.
Равновесное распределение электронов соответствует локальным температуре T(r)

g_n^eq(r,k,t) = g_n⁰(r,k) = {exp[(E(k)- (r))/(k_BT(r))] + 1}^-1

(9.3)

Ввиду 4) изменение dg_n(r,k,t) не зависит от конкретного вида полной неравновесной функции распределения g_n(r,k,t). Поэтому достаточно найти dg при каком-то одном виде функции g, т.е. можно взять равновесную функцию:

dg_n(r,k,t) = dt/g_n⁰(r,k).

(9.4)

Это уравнение и есть математическая формулировка приближения времени релаксации!!!
Пусть, далее, r_n(t'), k_n(t') - решение полуклассических уравнений движения для электронов n-ной зоны, которые при t' = t проходят через точку r,k:

r_n(t) = r ; k_n(t) = k

(9.5)

Предположим далее, что в момент t, электрон находился в элементе объема drdk около точки (r,k), а его последнее столкновение до момента t произошло в интервале времени от t' до t'+dt'. В результате этого столкновения электрон должен оказаться в объеме dr'dk' с центром в r_n(t'),k_n(t'), поскольку после момента t' его движение полностью детерминировано уравнениями движения, которые, согласно нашим условиям, должны привести его в точку r,k. Согласно приближению времени релаксации, полное число электронов, приходящих в результате столкновения в элемент объема dr'dk' точки r_n(t'),k_n(t') за время от t' до t'+dt', равно

(согласно теореме Лиувиля dr'dk' = drdk). Из этих электронов лишь доля P_n(r,k,t;t') действительно "выживет" в течение интервала времени от t' до t, не испытав при этом никаких столкновений.

(9.6)

Сравнивая с (9.2), получаем

(9.7)

Это выражение перепишем, введя сокращенные обозначения

g_n(r,k,t) g(t); g⁰(r_n(t'),k_n(t')) g⁰(t'); (r_n(t'),k_n(t')) (t'); P_n(r,k,t;t') P(t;t')

(9.8)

(9.9)

Величина P(t;t') - относительное число электронов в зоне n, которые движутся по траектории, проходящей в момент t через r,k, не испытывая столкновений в промежутках времени от t' до t. Относительное число электронов, "доживших" от t' до t, меньше относительного числа электронов, выживших от t'+dt' до t, на фактор (1 - dt'/(t')). Поэтому,

P(t;t') = P(t;t'+dt') (1- dt'/(t')).

(9.10)

В пределе dt' 0, отсюда получаем диф. уравнение

P(t,t')/d t' = P(t,t')/ (t')), при граничном условии P(t,t) = 1.

(9.11)

Решение имеет вид:

(9.12)

Частный случай. Если зависит от волнового вектора только через энергию E_n(k), то , в магнитном поле, поскольку энергия сохраняется, (t') = const и, следовательно,

P(t;t') = exp[-(t - t')/_n(k)].

(9.13)

Воспользовавшись уравнением (9.11), функцию распределения (9.9) можно записать

(9.14)

Если проинтегрировать (9.14) по частям, используя условие P(t,t)=1 и P(t,-) = 0 (без столкновения электрон не может жить долго), то получаем

(9.15)

т.е. функция распределения есть сумма локально-равновесного распределения и поправочного членов.
Чтобы найти производную по времени от функции g⁰ , заметим, что
g⁰ = g⁰(E(k_n(t')),T(r_n(t')),(r_n(t')), поэтому

(9.16)

Воспользовавшись уравнениями движения

(9.17)

получаем

(9.18)

где f - фермиевская функция для локальных температуры и хим. потенциала.

На главную сайта Dvoika.net