Числовые ряды. Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности 
называется числовым рядом.
При этом числа 
будем называть членами ряда, а un — общим членом ряда.
Определение. Суммы 
, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами
ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность
его частных сумм. Сумма сходящегося ряда — предел последовательности его частных
сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
22.2. Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда 
и 
, где С — постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и 
. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
, где элементы получены в
результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
22.3. Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность 
была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого 
существовал
такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р — целое число, выполнялось
бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть 
, тогда для любого
числа найдется номер N такой,
что неравенство
выполняется при n>N.
При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство 
. Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой,
что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился
к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только
о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например,
так называемый гармонический ряд 
является расходящимся, хотя его общий член и стремится
к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
Найдем 
- необходимый признак
сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 
при любом n.
22.4. Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно,
чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Лекция 23. Сходимость рядов.
23.1. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда и при un, vn ³
0.
Теорема. Если un £ vn при
любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е.
при всех n sn < M, где М — некоторое число. Но т.к. un
£ vn, то Sn £ sn то частные суммы
ряда тоже ограничены, а этого
достаточно для сходимости.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к. 
, а гармонический ряд
расходится, то расходится
и ряд 
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд 
Т.к. 
, а ряд 
сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд 
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если 
и существует предел 
, где h — число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.
23.2. Признак Даламбера.
(Жан Лерон Даламбер (1717 — 1783) — французский математик)
Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1,
что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд сходится, если же
для всех достаточно больших n выполняется условие
то ряд расходится.
23.3. Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если существует предел 
, то при r <
1 ряд сходится, а при r > 1 — расходится.
Если r = 1, то на вопрос о сходимости
ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда 
.
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда 
Вывод: ряд сходится.
23.4. Признак Коши. (радикальный признак)
Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1,
что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
,
то ряд сходится, если же
для всех достаточно больших n выполняется неравенство
то ряд расходится.
Следствие. Если существует предел 
, то при r<1
ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.
Пример. Определить сходимость ряда 
.
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда 
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
,
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
23.5. Интегральный признак Коши.
Если j(х) — непрерывная положительная
функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1)
+ j(2) + …+ j(n) + … = 
и несобственный
интеграл 
одинаковы в смысле
сходимости.
Пример. Ряд 
сходится при a>1
и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл 
сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд 
называется общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и j(х) — непрерывные функции на интервале (a, b] и 
то интегралы 
и 
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные
ряды. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд можно записать в виде: 
ьгде 
Степенные ряды. Понятие степенного ряда. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) d
