Включение цепи R, C на постоянное напряжение
Пусть в момент t=0 цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления R и не заряженной емкости C, подключается к источнику постоянного напряжения E (рис.1.1). Наличие переходного процесса в данной цепи связано с тем, что при весьма кратковременном ("мгновенном") изменении внешнего воздействия энергия поля конденсатора не может измениться мгновенно. Действительно, при скачкообразном изменении запаса энергии в цепи мощность, потребляемая цепью, принимала бы бесконечно большое значение, что не имеет физического смысла. Энергия электрического поля емкости
Поэтому условие отсутствия скачкообразного изменения энергии означает, что
в цепи R,C напряжение на емкости 
скачком изменяться не может.
Выясним законы изменения напряжения на элементах схемы во времени, т.е. найдем характер переходного процесса. На основании второго закона Кирхгофа для данной цепи при t = 0 имеем
(1.3)
где 
и
- соответственно падение напряжения на сопротивлении и напряжение на емкости
C. С момента включения цепи начинается заряд конденсатора через активное сопротивление.
Ток в цепи 
, a напряжение на
сопротивлении 
.
Тогда выражение (l.3) принимает вид
(1.4)
Общее решение полученного линейного дифференциального уравнения первого
порядка (l.4) представим аналогично выражению (l.2) в виде суммы напряжений
на емкости 
- для свободного процесса и 
- для вынужденного процесса в цепи
(1.5)
Напряжение должно быть равно напряжению источника E к концу переходного
процесса, так как конденсатор зарядится до напряжения E при 
. Напряжение есть решение однородного уравнения
т.е. имеет вид
где A — постоянная интегрирования, а 
- постоянная времени цепи заряда конденсатора,
т.е. время, за которое напряжение уменьшается в 
раз. Зная выражение для , подставим его в равенство (1.5) и получи решение
уравнения (1.4).
(1.6)
Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.
|
|
(4) |
Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:
Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй — с “-”, то в целом сумма равна нулю.
Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:
|
|
(5) |
- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая
сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при
расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается 
независимых уравнений по
второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из
которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия
“дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно,
формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом
(m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из
уравнений, что равно числу ветвей
схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.
| На главную сайта Dvoika.net |