Метод законов Кирхгофа
Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.
1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей
в узле схемы равна нулю (
).
2-й
закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произвольном контуре
схемы равна алгебраической сумме ЭДС (
).
Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и определить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и приемников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E1, E2, J1, J1, J2, R1, R2, R3, R4, R5).
Анализируем структуру схемы: схема содержит n=3 (0, 1, 2) узлов и m=5 ветвей с неопределенными токами. В ветвях с источниками тока J токи определены источниками. Общее число уравнений должно быть равно числу определяемых токов “m”.
Последовательность (алгоритм) расчета.
1) Задаются (произвольно) положительными направлениями токов в ветвях схемы (I1, I2, I3, I4, I5).
2) Составляется (n-1) уравнений для узлов по первому закону Кирхгофа. Уравнение для последнего n-го узла является зависимым (оно может быть получено путем сложения первых (n-1) уравнений).
3) Недостающие m-(n-1) уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа. Правило выбора контуров для составления уравнений: каждый последующий контур должен включать в себя хотя бы одну новую ветвь, не охваченную предыдущими уравнениями. Число независимых контуров для схемы любой сложности не может быть больше числа m-(n-1).
Ниже приведена система уравнений Кирхгофа для схемы рис. 16, состоящая из m=5 уравнений, из которых n-1=2 составлены для узлов 1 и 2 по 1-му закону Кирхгофа и m-(n-1)=3 составлены для контуров К1, К2, К3 по 2-му закону Кирхгофа:
- узел 1,
- узел 2,
- контур К1,
- контур К2,
- контур К3.
4) Система уравнений приводится к матричной форме, составляются матрицы коэффициентов:
;
5) Система уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные токи I1, I2, I3, I4, I5. Отрицательные результаты, получаемые для некоторых токов, означают, что их действительные (физические) направления не соответствуют направлениям, принятым в начале расчета.
6) Определяются напряжения на отдельных элементах
схемы (
), мощности источников ЭДС (
),источников
тока (
) и приемников (
). При этом мощности приемников энергии
всегда положительны, а мощности источников энергии могут быть отрицательными,
если сомножители в произведениях 
и 
не совпадают по направлению.
Если обе части равенства& (4)& умножить& слева& на& контурную матрицу В& и& учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому
|
| (5) |
,то
|
| (6) |
,&то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.
Метод контурных токов в матричной форме
В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.
Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:
|
| (7) |
.&В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения
|
| (8) |
,где 
&- столбцовая матрица контурных токов;& 
&- транспонированная контурная матрица.
С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:
|
| (9) |
Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить
|
| (10) |
,|
| (11) |
.&то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:
|
| (12) |
,&где 
&- матрица контурных сопротивлений; 
&- матрица контурных ЭДС.
| На главную сайта Dvoika.net |