Метод контурных токов
Теоретическая база метода контурных токов — 2-ой закон Кирхгофа в сочетании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток Ik, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их алгебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определению, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неизвестных составляет m-(n-1).
Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 11. Параметры отдельных элементов схемы заданы.
Последовательность (алгоритм) расчета.
1) Задаются (произвольно) положительными направлениями контурных токов в контурах-ячейках схемы(Iк1 , Iк2 , Iк3 ). Контуры-ячейки следует выбирать так, чтобы они не включали в себя ветви с источниками тока. Ветви с источниками тока J образуют свои контуры с заданными токами (J1, J2).
2) Составляются m-(n-1) уравнений по 2-му закону Кирхгофа для выбранных контуров-ячеек с контурными токами Iк1, Iк2, Iк3. В уравнениях учитываются падения напряжений как от собственного контурного тока, так и от смежных контурных токов.
Ниже приведена система контурных уравнений для схемы рис. 17:
В обобщенной форме система контурных уравнений имеет вид:
Здесь введены следующие обозначения:
R11= R1 +R4; R22 = R2 +R5 и т. д. — собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений всех элементов контура;
R12 = R21 = 0 ; R23 = R32 = -R5 и т. д. — взаимные сопротивления между двумя смежными контурами, они положительны — если контурные токи в ветви совпадают, и отрицательны — если контурные токи в ветви направлены встречно, всегда отрицательны — если все контурные токи ориентированы одинаково (например, по часовой стрелке), равны нулю — если контуры не имеют общей ветви;
E11 = E1 + J1R4, E22 = -E2, E33 = - E3 +J2R3 и т. д. — контурные ЭДС, равные алгебраической сумме слагаемых Enn = SE + SJR от всех источников контура.
Система контурных уравнений в матричной форме:
или в сокращенно 
,
где
- матрица контурных сопротивлений, 
- матрица контурных токов, 
- матрица контурных
ЭДС.
3) Система контурных уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные контурные токи Iк1, Iк2, Iк3.
4) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы (рис. 1) (I1, I2, I3, I4, I5). Токи ветвей определяются по принципу наложения как алгебраические суммы контурных токов, протекающих в данной ветви.
I1 = Iк1 - J1; I2 = -Iк2; I3 = -Iк3 — J2; I4 = Iк1 — Ik3; I5 = -Iк2 + Ik3 .
5) При необходимости определяются напряжения на отдельных элементах (Uk = IkRk), мощности источников энергии (PEk = EkIk, PJk = Uk Jk) и приемников энергии (Pk = Ik2 ×Rk).
В развернутой форме (12) можно записать, как:
|
| (13) |
&,
то есть получили известный из метода
контурных токов результат.
Рассмотрим пример составления контурных уравнений.
Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и шесть обобщенных ветвей (n=6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,
c=n-m+1=6-4+1=3.
Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.
| На главную сайта Dvoika.net |