Метод узловых потенциалов
Теоретическая база метода узловых потенциалов — 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узлов считают неизвестными, подлежащими определению. Общее число неизвестных составляет (n-1).
Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).
Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:
или 
Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через падения напряжений на ее отдельных участках, называется потенциальным уравнением ветви.
Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:
, 
.
Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Параметры отдельных элементов схемы заданы.
Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (j0 = 0), а потенциалы узлов 1 и 2 (j1 и j2) будем считать неизвестными, подлежащими определению.
Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I1, I2, I3, I4, I5. Составим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи ветвей:
I1 = (j1 — j0 + E1 )/ R1
I2 = (j2 — j0 + E2 )/ R2
I3 = (j1 — j0 + E3 )/ R3
I4 = (j0 — j1 )/ R4
I5 = (j0 - j2 )/ R5
Составим (n-1) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:
-I1 — I3 + I4 — J1 — J2 = 0
-I2 + I3 + I5 + J2 =0
Подставим значения токов из потенциальных уравнений в уравнения 1-го закона Кирхгофа. После приведения коэффициентов получим систему узловых уравнений:
В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:
Здесь введены следующие обозначения:
G11 =1/R1 +1/R3 +1/R4; G22 =1/R2 +1/R3 +1/R5 и т.д. — собственные проводимости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле, всегда положительны;
G12 = G21 = 1/R3; Gnm = Gmn– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;
J11 = - E1 /R3 — E3 /R3 — J1; J11 =- E2 /R2 — E3 /R3 + J1 и т.д. — узловые токи узлов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходящихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “-” , если источник действует от узла).
Система узловых уравнений в матричной форме:
или сокращенно 
,
где 
- матрица узловых проводимостей, 
- матрица узловых потенциалов, 
- матрица узловых
токов.
Запишем матрицу контуров, которая
будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит
только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей
связи, получим:
| В |
|
.Диагональная матрица сопротивлений ветвей
| Z |
|
Матрица контурных сопротивлений
| Zk=BZBT |
|
.
| На главную сайта Dvoika.net |