Теорема о взаимности
Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “m” и “n”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “m”, вызывает в ветви “n” частичный ток I , то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “n”, вызовет в ветви “m” такой же частичный ток I (рис.23) .
Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:
— для схемы рис. 23а, 
—
для схемы рис. 23б.
Так как взаимные проводимости в линейной цепи равны (Gmn=Gnm), то соответственно равны токи в обеих схемах.
9. Теорема о компенсации
Формулировка теоремы: любой пассивный элемент электрической схемы можно заменить а) идеальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на этом элементе (E=U) и направленной навстречу току, б) идеальным источником тока J, равным току в этом элементе (J=I) и направленным согласно току I.
Выделим пассивный элемент Rk с током Ik и напряжением Uk из схемы цепи (рис.
24а). Для доказательства п. а) теоремы включим последовательно с элементом
Rk навстречу друг другу два идеальных источника ЭДС 
(рис. 24б). Такое включение источников ЭДС не
вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируется.
Cоставим потенциальное уравнение между точками “a” и “d” :
, откуда следует
,
или 
.
Точки “a” и “d”, как точки равного потенциала, можно закоротить и закороченный
участок “a-d” из схемы удалить без
нарушения ее режима. В результате удаления закороченного участка схема получает
вид рис. 24в, в которой пассивный элемент Rk заменен идеальным источником
ЭДС 
.
Для доказательства п. б) теоремы включим параллельно с элементом Rk два
идеальных источника тока 
, направленные навстречу друг другу (рис. 25б).
Такое включение источников тока 
не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их
действия взаимно компенсируются. С другой стороны ток в ветви “a-c” равен нулю (
, и эту ветвь можно отключить без нарушения режима остальной
части схемы. В результате отключения схема получает вид рис. 25в, в которой
пассивный элемент Rk заменен идеальным источником тока Jk=Ik .
Специальные методы расчета
Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.
Метод контурных токов
Идея
метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа,
но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым
контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число
уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа 
. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры
можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно 
&и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь,
не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает
использование топологических понятий дерева и ветвей связи.
Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его истинное направление противоположно.
Пусть имеем схему по рис. 3.
Выразим& токи ветвей через контурные токи:
;
; 
;
; 
.
Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем
.
Поскольку 
,
то
.
Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:
совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.
| На главную сайта Dvoika.net |