15.3. Волновое уравнение
Применяя второй закон Ньютона (4.6) к упругой среде, можно получить дифференциальное уравнение в частных производных, решением которого будет уравнение волны. Логическая схема этого вывода такова:
15.3.1. Вывод закона Гука для бесконечно малого упругого стержня
Выделим элемент упругого стержня, длиной Δx.
Закрепим левую часть этого элемента (второй рисунок), правую сместим на величину Δξ вдоль оси x.
- закон Гука.
Здесь коэффициент kупр,
характеризующий упругость стержня, зависит от материала стержня, его длины и площади
сечения.
15.3.1.1. Нормальное напряжение и относительная деформация
Введем:
- нормальное напряжение,
-
относительная деформация.
При Δx → 0
.
Перепишем
, выразив F
и Δξ через σ
и ε :
или
.
15.3.1.2. Модуль Юнга
Величина 
не зависит от длины и сечения стержня, она определяется только упругими свойствами
материала, ее называют модулем Юнга материала:
.
15.3.1.3. Закон Гука
Тогда связь нормального напряжения σ и относительной деформации ε будет иметь вид:
.
Это выражение тоже носит название закона Гука.
15.3.2. Вывод волнового уравнения из
.
Пусть волна распространяется вдоль упругого стержня. Рассмотрим элемент этого стержня, его длина равна Δx в невозмущенном состоянии. Пусть при распространения волны левая часть этого элемента сместится на величину ξ(x), а правая - на величину ξ(x + Δx), не равную смещению левой части.
.
В нашем примере стержень растянут внешними силами:
Сумма этих сил равна:
.
Домножим и поделим последнее выражение на Δ x. Величина
при Δx → 0 дает вторую производную от "кси"
по x, т.е. 
.
Тогда
.
Масса нашего
элемента 
, его ускорение (3.10)
,
тогда преобразуется
в
,
или
-
волновое уравнение.
Проверим, будет ли 
его решением.
Откуда
.
Т.к. 
(15.2.4),
то фазовая скорость упругой продольной волны:
,
и волновое уравнение можно записать в виде:
.
Для волны, распространяющейся в произвольном направлении (15.2.5) волновое уравнение имеет вид:
.
