Найдем полную механическую энергию (5.8.2) для выделенного нами элемента упругой среды, в которой распространяются упругая продольная волна:
.
Скорость (3.8.2):
,
тогда
.
Потенциальная энергия упругого деформированного стержня:
.
Полная энергия выделенного элемента объемом SΔx будет равна:
.
15.4.1. Плотность энергии упругой волны
.
15.4.1.1. Плотность энергии упругой гармонической волны
15.4.1.1.1. Среднее по времени значение плотности энергии упругой гармонической волны
, это известно из математики, значит:
.
15.4.2. Поток энергии
15.4.3. Плотность потока энергии
15.4.4. Вектор Умова - связь плотности потока энергии с плотностью энергии упругой волны
15.4.5. Интенсивность волны
- это среднее по времени от модуля вектора плотности потока энергии:
.
Для гармонической волны:
.
15.5. Стоячие волны
При наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. При этом переноса энергии не происходит.
15.5.1. Уравнение стоячей волны
Для волны, бегущей по оси x:
.
Для волны, бегущей против оси x:
, см. (15.2.3), (15.2.4), (15.2.5).
Для простоты мы положили равным нулю значение начальных фаз этих волн. Сумма этих уравнений и дает уравнение стоячей волны:
15.5.1.1. Амплитуда стоячей волны
- это модуль выражения, стоящего перед множителем Cosωt, т.е.
15.5.2. Узлы и пучности
Поверхность, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Для узлов:
Следовательно, координаты узлов:
Поверхность, где амплитуда колебаний достигает максимума, называют пучностями стоячей волны.
Для пучностей:
Координаты пучностей:
15.5.3. Колебания струны, закрепленной с двух концов
В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выборе начала координат на одном из концов струны следует записать через функциюSin kx, т.е.
.
Тогда условие
будет выполнено. Для выполнения граничного условия на другом конце струны
мы должны потребовать, чтобы
.
Это приводит к квантованию волнового числа, т.е. k может принимать не любые значения, а только дискретные, определяемые равенством:
т.к.
то
Вдоль струны должно укладываться целое число полуволн! Из (15.1.7)
и мы получаем спектр (набор) частот, на которых может колебаться закрепленная с двух концов струна:
Частотаv1 называется основным током, v2 - первым обертоном и т.д.
