Замена переменных в тройных интегралах
Пример Найти объем области U, заданной
неравенствами 
Решение. Очевидно, что
данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену
переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный.
В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных
интегралов. Сделаем следующую замену: 
Область
интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами
Объем тела равен 
Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x,
y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного
преобразования: 
Тогда 
Следовательно, объем тела равен
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию 
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
Итого: у = -х — наклонная асимптота.
К оглавлению раздела