Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45o. Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k1 x+b1 и y= kx+b определяется формулой tgj = . Так как угловой коэффициент k1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол j = 45o, то имеем уравнение для определения k: (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости. Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример. Исследовать на четность и нечетность функцию . Данная функция определена, если . Применяя к решению этого неравенства метод интервалов (СР 5), получим (симметричный интервал относительно нулевой точки).

Раскрытие некоторых типов неопределенностей. Пример. Вычислить . ьИмеем неопределенность вида .

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет.

Пример Найти . Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:, x-9®0, т.е. имеем неопределенность вида .

Пример. Функция есть первообразная для функции на , поскольку .

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Пример . Найти . Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим .

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Пример. Найти . Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей, не находя коэффициентов разложения

Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей

Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида , где – рациональные числа, а – действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Использование понятия неопределенного интеграла в экономике Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла. Пример. Определить функциональное соотношение между количеством выпускаемой продукции и общими производственными затратами, а также средние затраты, если а фиксированные затраты составляют 5000 у.е.

Понятие корня Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными. Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a (n ≥ 2). Обозначается , где a - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (n ≥ 2; n ϵ N).

Комплексные числа Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом

Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника