Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 33. Найти интегралы от рациональных дробей примеров 30 ÷ 32.
○
1) 
.
.
. Элементы оптимального
управления Нелинейное программирование
Выделим полный
квадрат в квадратном трехчлене 
. Сделаем подстановку 
. Тогда 
, 
и
.
.
.
.
.
.
.
. ●
Пример 34.
Найти 
.
○ Используя подстановку 
, с учетом соотношений (16.40), получим
.
●
Хотя подстановка интеграл 
всегда приводит к интегралу от рациональной функции,
но очень часто это ведет к слишком громоздким преобразованиям. Поэтому во многих
случаях целесообразно пользоваться другими методами нахождения этого интеграла.
В частности, удобны следующие правила:
Если функция 
нечетна относительно 
, т.е. 
, то удобна подстановка 
;
Если функция 
нечетна относительно 
, т.е. 
, то рекомендуется применять подстановку 
;
Если функция четна относительно и 
, т.е. 
, то вводим подстановку 
.
Часто подынтегральную функцию можно представить в виде 
. В этом случае также используется подстановка
, для которой 
;
.
Подстановку целесообразно применять к интегралам вида
.
(6.42)
Пример 35. Найти 
.
○ 
.
●
Интегралы вида 
. Для нахождения таких интегралов используются следующие
приемы:
Если 
, то полагая
, 
, получим
.
Последний интеграл находим методом разложения.
Пример 36. Найти 
.
○ 
.
●
Если 
, то полагая
, 
, получим
.
Интеграл также находится методом разложения.
Если 
,
и 
от — целые числа, то интеграл приводится к
виду
(при 
)
или 
(при 
).
В первом случае полагаем . Тогда, используя формулу СР: (6.16), получим
и 
.
Во втором случае полагаем 
. Тогда, используя формулу СР: (6.17), получим
и 
.
Полученные интегралы, после деления многочленов по правилу “деления углом” (СР: 1.4), находим методом разложения.
Пример
37. Найти 
.
○ 
.
●
Если 
– четное
отрицательное число, то интеграл приводится к виду
или 
.
В первом случае
полагаем , откуда 
и
.
Во
втором случае полагаем и аналогично находим, что
.
При
или 
получим интегралы
, 
.
Пример 38. Найти 
.
○ 
. ●
Если 
–
целое нечетное отрицательное число и , то применяя подстановку 
, с учетом (16.40), получим
.
Если 
– целое нечетное
отрицательное число и , то интеграл имеет вид 
.
Его удобнее вначале преобразовать к виду 5)
с помощью подстановки 
. Тогда
, 
.
7) Если
и – целые четные положительные
числа (одно из чисел или может быть равно нулю), то интеграл целесообразно находить,
используя формулы СР: (7.9); (7.18); (7.19).
Пример 39. Найти 
.
○ 
.
●
Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы вида 
. Рассмотрим интегралы указанного типа, где 
– и действительные числа; 
– рациональные числа.
Пусть
– наименьшее общее кратное (НОК)
знаменателей дробей, т.е. 
, 
, где 
– целые числа. Покажем, что такой интеграл рационализируется
подстановкой 
.
В самом деле,
и 
,
так что
,
где
– рациональная функция аргумента
.
Пример 40. Найти 
.
○ В рассматриваемом интеграле наименьшее
общее кратное знаменателей дробей 
,
и 
есть 12. Поэтому вводим замену 
, 
, 
. Следовательно,
.
●
