Обыкновенные дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

• Пример
• Свойства общего решения
• Дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
  • Уравнения с разделяющимися переменными
  • Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
  • Пример. Решить уравнение
  • Пример. Решить уравнение
• Однородные уравнения Определение. Функция f(x, y) называется однородной n — го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
  • Пример. Решить уравнение .
  • Уравнения, приводящиеся к однородным
  • Пример. Решить уравнение
  Линейные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
  • Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
  • Метод Лагранжа
    • Пример. Решить уравнение
    • Пример. Решить уравнение
• Уравнения в полных дифференциалах

• Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

  называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

  • Пример. Решить уравнение
• Уравнения Лагранжа и Клеро
  • Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.
  • Пример. Найти общий интеграл уравнения .
  • Пример. Решить предыдущий пример другим способом.
  • Пример. Решить уравнение с начальным условием у(0) = 0.
  • Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1) = 0.
  • Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у(1)=0.
• Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка
  • Численные методы решения дифференциальных уравнений
• Дифференциальные уравнения высших порядков
  • Уравнения, допускающие понижение порядка
• Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k — 1 включительно
  • Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
• Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
  • Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
  • Структура общего решения
  • Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
  • Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
  • Пример. Решить уравнение .
  • Пример. Решить уравнение
  • Пример. Решить уравнение
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
  • Метод вариации произвольных постоянных
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
  • Уравнения с правой частью специального вида
  • Пример. Решить уравнение
  • Пример. Решить уравнение
• Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
  • Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  • Пример. Найти решение системы уравнений
  • Пример. Найти общее решение системы уравнений:
• Элементы теории устойчивости
  • Ляпунов Александр Михайлович
• Классификация точек покоя
  • Классификация основных типов уравнений математической физики
• Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
  • Волновое уравнение
• Уравнение колебаний струны
  • краевые условия
• Решение задачи Коши методом разделения переменных.
  • Решение задачи Коши методом Даламбера
• Уравнение теплопроводности
  • Уравнение Лапласа
  • Решение задачи Дирихле для круга

   

  Ряды. Основные определения. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

  Свойства рядов

  Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда

  Ряды с неотрицательными членами

  Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

  Пример. Определить сходимость ряда .

  Интегральный признак Коши

  Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды

  Знакочередующийся ряд можно записать в виде: где

  Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

  Функциональные последовательности Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

  Функциональные ряды

  Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

  Степенные ряды Определение. Степенным рядом называется ряд вида .

  Теоремы Абеля

  Действия со степенными рядами

  Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

  Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования

  Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

  Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

  Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

  Ряды Фурье

  Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье

  Разложение в ряд Фурье непериодической функции

  Ряд Фурье для четных и нечетных функций

  Ряд Фурье для четных и нечетных функций

  Ряды Фурье для функций любого периода

  Ряд Фурье по ортогональной системе функций Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

  Интеграл Фурье

  Преобразование Фурье

  Элементы теории функций комплексного переменного Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

  Основные трансцендентные функции

  Производная функций комплексного переменного Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

  Условия Коши — Римана

  Интегрирование функций комплексной переменной

  Интегральная формула Коши

  Ряды Тейлора и Лорана

  Полюс функции

  Теорема о вычетах

  Пример. Вычислить определенный интеграл

  Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

  Свойства изображений

  Таблица изображений некоторых функций

  Теоремы свертки и запаздывания

  Пример. Решить уравнение

  Пример. Решить уравнение

  Пример. Решить систему уравнений:

  Пример. Решить систему уравнений при x(0) = y(0) = 1

  Криволинейные интегралы Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.

  Свойства криволинейного интеграла первого рода

  Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

Криволинейные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L — контур, ограниченный параболами .

Формула Остроградского  — Грина Формула Остроградского — Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского  — Грина.

Поверхностные интегралы первого рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Поверхностные интегралы второго рода Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Формула Гаусса — Остроградского Формула Гаусса — Остроградского является аналогом формулы Грина — Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Найти формулу вычисления объема шара

Элементы теории поля

Формула Стокса. Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.