2) Функция f(x) имеет вид: .

В этом случае точка z₀ называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z₀ называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

z₀ — полюс порядка т.

3) Функция f(z) имеет вид , где в ряду не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с_-k.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z₀ существенно особую точку.

Определение. Пусть z₀ — изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) — аналитическая в некотором круге из которого исключена точка z₀. Тогда интеграл

называется вычетом функции f(z) в точке z₀, где L — контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z₀.

Вычет также обозначают иногда .

Если есть ряд Лорана функции f в точке z₀, то .

Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.

В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.

Например, если функция , а имеет простой нуль при z = z₀ , то z = z₀ является простым полюсом функции f(z).

Тогда можно показать, что вычет находится по формуле

Если z = z₀ — полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:

Пример. Найти вычет функции относительно точки z = 2.

Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой