Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z — z₀).

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

Ряд, определяющий функцию f₁(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f₂(x), называется главной частью ряда Лорана.

Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге за исключением центральной точки z₀. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

Тогда точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f.

Рассмотрим следующие частные случаи:

1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f₁(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z₀.

В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z₀ устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z₀) = c₀) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

В этом случае для любого контура L, содержащего точку z₀ и принадлежащего к кругу .

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой