Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно — монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно — монотонную функцию f₁(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

y

f(x)

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f₁(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой