Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула

где t₀ – некоторая точка.

Определение. Выражение называется сверткой функций f₁(t) и f₂(t) и обозначается f₁* f₂.

Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f₁(t) и f₂(t) .

Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 — 1872) — французский математик)). Если , то верно равенство

Для нахождения изображений различных функций наряду с непосредственным интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.

Пример. Найти изображение функции .

Из таблицы изображений получаем: .

По свойству интегрирования изображения получаем:

Пример. Найти изображение функции .

Из тригонометрии известна формула .

Тогда =.

Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.

Из теоремы о дифференцировании оригинала {} можно сделать вывод, что

Тогда

Обозначим

Получаем:

Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным уравнением.

Отсюда получаем изображение , а по нему и искомую функцию x(t).

Изображение получаем в виде:

  [an error occurred while processing this directive]

Где

Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой