Решение дифференциального уравнения вида 
или, короче, 
будем искать в виде 
, где k
= const.
Т.к. 
то
При этом многочлен 
называется характеристическим
многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения,
необходимо и достаточно, чтобы
т.е. 
Т.к. ekx ¹ 0, то 
- это уравнение называется
характеристическим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое
уравнение 
имеет n корней. Каждому
корню характеристического уравнения ki соответствует
решение дифференциального уравнения.
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно — сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:
в) каждой паре комплексно — сопряженных корней 
характеристического
уравнение ставится в соответствие два решения:
и 
.
г) каждой паре m — кратных
комплексно — сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие
2m решений:
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
