Пример. Функция 
есть первообразная для функции 
на 
, поскольку 
.
Функция 
является первообразной для функции 
, 
, так как 
, 
.
Функция 
является первообразной для функции 
на интервале 
, так как 
. ●
Очевидно, что функции 
, 
и 
, где 
, будут также первообразными для соответствующих функций
, поскольку для них выполняется
равенство (16.1).
Пример 2. Для функции 
найти первообразную, которая при 
принимает значение 
.
○ В примере 1 было установлено,
что 
. Подставим в это выражение начальные условия
, ; получим 
, откуда 
. Следовательно, искомая первообразная имеет вид 
. ●
В гл.17 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на некотором промежутке является непрерывность функции на этом промежутке. А пока будем считать, что всюду в данной главе осуществляется интегрирование непрерывных функций. Двойные интегралы в прямоугольной области Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник .
Если функция, для которой мы ищем первообразную, разрывна, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна.
Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Пример 3. ○ 
*
.●
Пример 4. ○ 
(вывод формулы 8). ●
Пример 5. ○ 
(вывод формулы 12). ●
Пример 6. ○ 
(вывод формулы 20). ●
Пример 7. ○ 
(вывод формулы 23). ●
Пример 8. ○ 
. ●
Для нахождения интегралов вида
, 
, 
(6.11)
используются формулы СР: (7.31) ÷ (7.33), а при нахождении интегралов вида
,
(6.12)
используются формулы СР: (7.18); (7.19).
Пример 9. ○ 
.
●
Пример 10. ○ 
.
●
Пример 11. Найти 
○ Выделяя в квадратном трехчлене полный
квадрат, согласно 
, получим
.●
Пример
12. Найти 
○ Используя , получим
●
Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида
и 
(6.13)
путем выделения
в числителе производной 
квадратного трехчлена и выделения полного
квадрата в квадратном трехчлене, приводятся к табличным интегралам.
Пример
13. Найти 
○ Имеем 
Используя , получим 
●
Пример 14. Найти
○ В данном случае подынтегральная функция
является неправильной дробью 
.
Путем деления числителя на знаменатель 
и применения формулы 
, получим
●
Как видно, нахождение интегралов иногда требует некоторой изобретательности, которая приобретается в результате решения значительного числа примеров.
