Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.
Пример
26. Найти 
.
○ Произведем тождественные преобразования,
умножив и разделив подынтегральную функцию на 
.
.
К последнему интегралу применим формулу (6.18)
Планирование загрузки
оборудования с учетом максимальной производительности станков
Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь
.
Решая
это уравнение относительно 
, окончательно получим
.
● (6.24)
Аналогично находим
.
(6.25)
Пример 27. Найти 
.
○ 
.
Таким образом, получаем уравнение
,
откуда
.
● (6.26)
Аналогично находим
.
(6.27)
Часто интегрирование по частям приводит к рекуррентной формуле, т.е. формуле, позволяющей последовательно вычислять интегралы, исходя из известного начального интеграла.
Пример 28. Найти 
.
○ Произведем над подынтегральной функцией следующие тождественные преобразования:
.
К последнему интегралу применим формулу (6.18)
.
Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь
(6.28)
где 
.
Таким
образом, зная интеграл 
, по рекуррентной формуле (6.28) можно найти интеграл
. Например, при 
имеем
.
● (6.29)
Для интегралов вида
и 
,
где 
,
также можно получить рекуррентные формулы, позволяющие понижать степень 
и тем самым позволяющие в конечном
итоге свести интегрирование к ТИ: 27; 28. Действительно, интегрируя по частям
и используя ТИ: 27; 28, получим
,
.
При применении к формулам (6.24) — (6.28) свойства 6.5º, получим ТИ: 25 ÷ 29.
Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования.
Пример 29. Найти 
.
○ Обозначим х2 = t, тогда dt = 2x dx. Следовательно,
. ●
Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования.
