1. Если x1 и y1 - координаты
точки A, а x2 и y2 - координаты точки B, то координаты x
и y точки C, делящей отрезок AB в отношении 
,
определяются по формулам
Если
,
то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка
AB определяются по формулам
2. Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) вычисляется по формуле
Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.
3. Площадь многоугольника с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), …, F(xn, yn) равна
Разложение основных
элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для
функции f(x) ряд Тейлора ;
Выражение вида 
равно x1y2 - x2y1 и называется определителем
второго порядка.
Элементы теории множеств
1. Логические символы
Квантор
- заменяет выражение
"для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".
Квантор 
- заменяет выражение "существует", "найдется".
Запись 
(импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость
высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость
A, то записываем 
. Если
, то высказывание B является
необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.
Если
предложения A и B справедливы одновременно, то записываем 
.
Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем 
.
2. Операции над множествами
Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.
Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, …}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:
N
- множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных
чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z0
- множество всех неотрицательных целых чисел.
Запись 
(или 
) означает, что элемент
a принадлежит множеству A.
Запись 
(или 
) означает, что элемент
a не принадлежит множеству A.
Ясно, что
Если
, то 
.
Если при каждом множество
f -1(y) состоит не более чем из одного элемента 
,
то f называется взаимно однозначным отображением E в F. Впрочем, можно
определить взаимно однозначное отображение f множества E на F.
Отображение
называется:
- инъективным (или инъекцией, или взаимно
однозначным отображением множества E в F), если 
,
или если 
уравнение f(x)
= y имеет не более одного решения;
- сюръективным (или сюръекцией,
или отображением множества E на F), если f(E) = F и если
уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;
- биективным
(или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F),
если оно инъективно и сюръективно, или если
уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.
3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения
1)
Пусть
и 
.
Поскольку 
, то отображение
g каждому элементу 
относит определенный элемент 
.
Таким
образом, каждому 
посредством
правила 
поставлен в соответствие
элемент
Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.
Функция. Отображение
1. Функция
Отображением множества
E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется
правило, или закон f, который каждому элементу
ставит в соответствие определенный элемент 
.
Элемент
называют независимым
элементом, или аргументом функции f, элемент
называют значением функции f, или образом; при этом элемент
называется прообразом элемента .
Отображение
(функцию) обычно обозначают буквой f или символом ,
указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение
,
указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно
задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например,
можно говорить, что "функция f определена равенством 
".
Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение
записывают в виде равенства y = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.
2. Образ и прообраз множества при заданном отображении
Пусть
задано отображение
и множество 
.
Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образом множества D и обозначается f(D).
Очевидно,
.
Пусть
теперь задано множество 
.
Множество
элементов таких, что 
,
называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f
-1(Y).
