Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).
Пример
15. Найти 
.
Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене,
согласно СР: (2.2), получим 
.
Положим 
, тогда 
. Следовательно,
. ● Задача о назначениях
Задача заключается в выборе такого распределения ресурсов по объектам, при
котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс
назначается ровно один раз и каждому объекту приписывается ровно один ресурс.
Интегралы вида
(6.16.)
сводятся к рассмотренным
выше интегралам с помощью подстановки 
.
Пример
16. Найти 
.
○ Положим 
, тогда 
. Следовательно,
.
●
Пример 17. Найти 
.
○ Положим 
, тогда 
. Следовательно,
.
●
При замене переменной в неопределенном интеграле часто оказывается
проще задавать не 
, как функцию
от 
, а, наоборот, задавать
как функцию от .
Так, если интеграл имеет вид
, то его можно упростить с помощью подстановки 
, 
и найти интеграл аналогично (6.15), т.е.
.
(6.17)
Пример 18. Найти 
.
○ Обозначим 
, тогда 
. Следовательно,
.
●
Пример 19. Найти 
.
○ Обозначим 
, тогда 
. Следовательно,
.
●
Пример 20. Найти 
.
○ Обозначим 
, тогда 
. Следовательно,
.
●
Общих методов подбора подстановок не существует и удачный ее выбор обычно сопряжен с известными трудностями. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.
Метод интегрирования по частям
Пример 21. Найти 
.
○ Положим 
, 
. Тогда 
, а 
. Подставляя найденные выражения в (6.18), получим
.
●
Пример 22. Найти 
.
○ 
. ●
В отдельных случаях формулу (16.18) приходится использовать несколько раз.
Пример 23. Найти 
.
○ 
.
● (6.20)
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно находить с помощью формулы (16.18)
Пример 24. Найти 
.
○ 
.
●
Интеграл вида
,
(6.23)
где 
, 
.
Он
выражается через элементарные функции, если последовательно применять формулу
(16.18), полагая 
, 
, а 
.
Пример 25. Найти 
.
○ 
.
●
