Раскрытие некоторых типов неопределенностей.
Пример 3.
Вычислить 
.
Имеем неопределенность вида 
. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель
дроби, стоящей под знаком предела, на наивысшую из имеющихся в числителе и знаменателе
степеней 
, т.е. на 
. Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и теорему 11.4,
найдем
. Метод множителей Лагранжа
Пример 5. Вычислить 
.
Применяя тот же прием, что в предыдущем примере, находим
.
Пример
6. Вычислить 
.
Разделив почленно числитель и знаменатель на
, получим
.
Решения последних трех примеров позволяют записать следующую общую формулу:
(4.25)
Пример 7. Найти
предел последовательности 
.
Символ n! (читается “эн факториал”) вычисляется по формуле (СР 9.2), т.е.
,
.
Имеем
.
Пример
8. Вычислить 
.
.
Пример
9. Вычислить 
.
.
Пример 10. Вычислить
.
.
Пример 12. Доказать,
что при 
. (11.20)
При 
доказательство очевидно. Пусть 
,
тогда последовательность 
– монотонно
убывающая и ограничена снизу (
). Следовательно, по теореме 11.6 последовательность
имеет предел, который обозначим через 
. Последовательность 
, за исключением первого члена, также сходится к числу
, т.е. 
. Отсюда следует, что
,
т.е. 
или 
.
Так как 
, то 
.
Пусть 
.
Рассмотрим
.
Пример
13. Вычислить 
.
При 
получается неопределенность вида .
Поэтому сначала разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком
предела, на 
. Затем, применяя
(11.5), (11.3), (11.6) и (11.20), найдем
.
Число е . Рассмотрим последовательность
.
Придавая
различные натуральные значения,
получаем таблицу:
|
| 1 | 2 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 |
|
| 2 | 2,25 | 2,594 | 2,705 | 2,717 | 2,718 | 2,718 |
Из таблицы
видно, что 
с возрастанием изменяется все медленнее и, по-видимому, стремиться к
некоторому пределу. Докажем это.
Согласно неравенству Бернулли (10.1),
. Обозначим 
. Тогда для последовательности 
имеем 
. Выполнив преобразования над отношением
,
получим, что 
.
Итак, последовательность
монотонно убывает и ограничена снизу числом 2.
Следовательно,
она имеет конечный предел, причем, 
, т.е. последова-тельность 
тоже имеет предел. Этот предел принято
обозначать буквой е:
.
(4.29)
Число е иррациональное, которое называют неперовым*
числом. Его приближенное значение равно 2,72 (
). Число е принято за основание натуральных логарифмов,
которые обозначаются 
, т.е. 
.
Найдем связь между натуральными и десятичными
логарифмами. По определению логарифма (СР 4.2) имеем 
. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:
,
т.е. 
.
Пользуясь таблицей
десятичных логарифмов, находим 
. Число М называется модулем перехода
от натуральных логарифмов к десятичным. Значит,
. (11.22)
Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.
Число е часто используют для раскрытия неопределенности
[
].
Пример 14. Вычислить 
.
При
получается неопределенность вида [].
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела так, чтобы использовать (11.21).
[]
.
К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.
