Пример. Представить в виде (16.36) приведенную выше неправильную дробь.
Разделив числитель на знаменатель по правилу “деления углом” (СР: 1.4), получим
3
Следовательно,
. ● Задачи с несколькими
целевыми функциями Формулировка задачи В рассматриваемых выше задачах линейного
программирования математические модели имели одну целевую функцию, для которой
находилось максимальное или минимальное значение экономического показателя.
Однако на практике часто требуется найти экстремальные значения нескольких
экономических показателей. В этом случае математическая модель имеет несколько
целевых функций, причем некоторые из них требуют нахождения максимального,
а другие — минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения такого
компромиссного (субоптимального) решения модели, в котором значения всех рассматриваемых
экономических показателей были бы приближены к экстремальным значениям.
Согласно соотношению (6.36),
интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена
и правильной рациональной дроби 
:
.
Поэтому в дальнейшем будем считать, что дробь (16.35) — правильная.
Среди правильных дробей различают четыре типа так называемых простейших дробей:
1. 
;
2. 
, 
;
3. 
;
4. 
, ,
где 
– действительные числа, 
, а трехчлен
не имеет действительных корней,
т.е. 
.
Пример 31. Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей, не находя коэффициентов разложения:
1) 
; 2) 
;
3)
; 4) 
.
○ 1) Разложим знаменатель рациональной дроби на множители
.
.
2)
.
.
3)
.
4) 
.
●
Найдем неопределенные интегралы от простейших дробей (6.37).
.
2.
.
Процесс нахождения интеграла этого типа показан в примере 13.
При нахождении интеграла этого типа используется (16.9) и ТИ: 1; 17 ÷ 20; 29 (пример 33 5)).
Поскольку интегралы от простейших дробей — элементарные функции, то отсюда вытекает следующий вывод: интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции.
Методы
нахождения коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби.
Приведем два наиболее употребляемых метода нахождения неопределенных коэффициентов
в равенстве (6.38).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода такова:
а) Знаменатель 
данной дроби раскладываем на множители, т.е. приводим
к виду (16.34).
б) Правильную дробь (6.35) разлагаем на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами по формуле (6.38).
в) В правой
части равенства (16.38) простейшие дроби приведем к общему знаменателю 
;
в результате получим тождество 
, где 
– многочлен с неопределенными коэффициентами. Так как
в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.
.
(6.39)
г) Используя известный в алгебре факт, что два многочлена тождественно
равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях
, получим систему алгебраических
уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов.
д) Записываем дробь (6.35) в виде линейной комбинации простейших дробей по формуле (6.38) с найденными значениями неопределенных коэффициентов.
Метод частных значений. Если в
тождестве (6.39) придать конкретные различные значения столько
раз, сколько неизвестных коэффициентов, то получим систему линейных алгебраических
уравнений, из которой определим неизвестные коэффициенты.
Это особенно
удобно, когда знаменатель правильной рациональной дроби имеет только
действительные простые корни.
На практике часто комбинируют оба рассмотренных выше метода.
Пример 32. Представить в виде суммы простейших дробей рациональные дроби примера 31.
○ Ко всем дробям применим приведенную выше схему разложения дроби на простейшие, начиная с в).
в) 
.
г) Здесь удобно применить метод частных значений. Подставляя в последнее выражение корни знаменателя дроби, получим
;
;
.
д) 
.
в)
г) В начале применим метод частных значений, подставив в последнее выражение корень знаменателя, получим
.
Подставим найденное А в это выражение и выполним
тождественные преобразования 
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения
и 
.
д) 
.
в)
.
г)
.
.
д) 
.
в)
г) 
.
д) 
.
●
Интегрирование рациональных дробей. Все вышеизложенное позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
Если рациональная дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (6.36).
Разлагаем знаменатель правильной дроби на множители и представляем ее в виде суммы простейших дробей.
