Замена переменной в определенном интеграле
Определенный интеграл 
по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной
t с помощью подстановки x = g (t): 
Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями 
где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g
-1(x). Интегрирование по частям для определенного интеграла В этом
случае формула интегрирования по частям имеет вид: 
где 
означает разность
значений произведения функций uv при x = b и x = a.
Пример
Вычислить интеграл 
.
Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем 
Исследовать функцию
и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3.
Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 
с осью Оу: x = 0; y — не существует.
4.
Точка х = 0 является точкой разрыва 
, следовательно, прямая х = 0 является вертикальной
асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥
при х = 0.
y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) — функция возрастает,
y¢ < 0 при х Î (0, 2) — функция убывает,
у¢ > 0 при х Î (2, ¥) — функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.
> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области
определения.
К оглавлению раздела