Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Замена переменной в определенном интеграле

Пример Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Решение. Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4). Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна

Пример Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Решение. Найдем сначала уравнение стороны ОА (рисунок 5). Аналогично, получим уравнение стороны ОВ. Наконец, найдем уравнение третьей стороны АВ. Как видно из рисунка 5, площадь треугольника равна сумме двух интегралов:

Рис.5		Рис.6

Циркуляция. Ротор. Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл — работа силы вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .

Тогда и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определин ротор (или вихрь) этого поля: .

Легко проверить свойства ротора.

1. 
2. , где под

понимаем векторное произведение.