Замена переменной в определенном интеграле
Пример Вычислить площадь эллипса
.
Решение. В силу
симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного
выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна 
Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x
= asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x =
− a, то sin t = −1 и 
.
Если x = a, то sin t = 1, 
.
Таким образом, мы получаем 
Следовательно,
полная площадь эллипса равна πab.
Найти
предел 
.
; 
;
; 
;
; 
; 
Следует отметить, что правило Лопиталя — всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой — либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
К оглавлению раздела