Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1. 
2. 
3. , где k - константа;
4. Если в любой точке области U, то ;
5. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U₁ и U₂, то ;
6. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка: где V - объем области интегрирования U.
7. Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M₀ U, такая, что где V - объем области U.

Пример Оценить максимальное значение тройного интеграла где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R = 6. Решение. Уравнение шара имеет вид Используя свойство 6, можно записать где объем шара V равен Максимальное значение M подынтегральной функции равно Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:

Пример Оценить максимальное и минимальное значение тройного интеграла

где область U является параллелепипедом: Решение. Сначала вычислим объем области интегрирования U: Оценка интеграла выглядит как Здесь минимальное значение m подынтегральной функции равно Соответственно, максимальное значение M составляет Таким образом, оценка интеграла имеет вид

Формула Остроградского. Ее векторная запись

Теорема. Пусть - замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона . Пусть - функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда . Равносильная формулировка: , где - внешняя нормаль к .

Доказательство. Предположим, что ограничено сверху - графиком функции , снизу - , , а сбоку — цилиндрической поверхностью .

Вычислим, т.к. на внешняя нормаль составляет с осью тупой угол.

Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое .

Итак, .

Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей и цилиндрической поверхности, то ,и, при аналогичных условиях, .

Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то .

Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел , разделенных гладкими поверхностями , причем эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть .

Тогда . Каждый из интегралов преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как , где взяты внешние стороны поверхностей .

Поверхности имеют общую часть , причем их внешние нормали на противоположны и интегралы по от взаимно сократятся, поэтому