Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Производная сложной функции

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку . Тогда или . С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:

Пример Найти интеграл .

Решение. Перепишем интеграл в виде Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл как Используя замену получаем ответ

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем следующую подстановку: Следовательно,

Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра. Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .