Двойные интегралы в прямоугольной области
Пусть область интегрирования R
представляет собой прямоугольник 
.
Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем
виде:
В данном случае область
интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть
возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать
функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого
интеграла. В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y)
"расщепляется" на произведение f (x)g(y),
двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов: 
Пример Вычислить двойной интеграл 
в области 
. Задание 11.
Вычислить интегралы от функции комплексного переменного: Так как подынтегральная
функция аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
- Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х ,У .
Решение.
Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет
собой произведение f (x)g(y). Следовательно,
интеграл равен 
К таким интегралам относится интеграл вида 
, где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы
называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.
Если все — таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
1) 
- интеграл
Пуассона ( Симеон Дени Пуассон — французский математик (1781-1840))
2) 
- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель — французский
ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
3)
- интегральный логарифм
4)
- приводится к интегральному логарифму
5) 
- интегральный синус
6)
- интегральный косинус
К оглавлению раздела