Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение.

Рис.9		Рис.10

Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

Пример Найти объем тела, ограниченного поверхностями . Курс лекций по математике Вычислить координаты вектора Решение дифференциальных уравнений

Решение.

Рис.11		Рис.12

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен Вычислим полученные три интеграла отдельно. Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно, (Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте). Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен Наконец, вычислим третий интеграл. Таким образом, объем тела равен

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции - непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть - непрерывная на функция. Тогда

Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.