Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить площадь сферы радиуса a.

Решение. Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле Найдем частные производные. Подставляя найденные производные, получаем Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна

Пример. Найти производную функции _{Производная по направлению}