Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x² + y² + z² = 6 и параболоидом x² + y² = z.

Решение. Определим сначала линию пересечения поверхностей. Подставляя уравнение параболоида в уравнение сферы, находим: Второй корень z₂ = −3 соответствует пересечению сферы с нижней полостью параболоида. Этот случай мы не рассматриваем. Таким образом, перечение тел происходит при z = 2. Очевидно, что проекция области интегрирования на плоскость Oxy имеет вид окружности (рисунок 8), заданной уравнением x² + y² = 2.

Рис.8		Рис.9

Сверху область интегрирования ограничена сферической поверхностью, а снизу − параболоидом (рисунок 9). Объем данной области выражается интегралом Удобно перейти к цилиндрическим координатам: где ρ² = x² + x² и интеграл включает якобиан ρ. Получаем: Заменим ρ² = t. Здесь t = 0 при ρ = 0, и, соответственно, t = 2 при ρ = √2. Окончательно вычисляем объем тела:

Поверхностные интегралы 2-го рода. Предел функции в точке Курс лекций по математике

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.