Геометрические приложения криволинейных интегралов
Пример Найти длину кривой 
при условии 
.
или
. Поскольку y ≥
0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой (рисунок
3). Длина кривой равна 
 |
 | |
| Рис.3 | Рис.4 |
Пример
Вычислить длину астроиды 
.
Производная и дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную
точку М(х, у) и зададим приращение Dх
к переменной х. Тогда величина Dxz = f(
x + Dx, y) — f(x, y) называется частным приращением
функции по х.
Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹
0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов.
В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание
не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего
имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.
y¢¢
= 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х
= 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.
К оглавлению раздела