Геометрические приложения криволинейных интегралов
Пример Найти длину кардиоиды,
заданной в полярных координатах уравнением 
(рисунок 6).
Длина кардиоиды выражается в виде 
Заметим,
что 
при 
,
и 
при 
.
Следовательно, 
Записывая последний интеграл
в виде суммы 2 интегралов, находим длину кардиоиды. 
 |
 | |
| Рис.6 | Рис.7 |
Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Подстановки Эйлера
1)
Если а>0, то интеграл вида
рационализируется подстановкой
.
2)
Если a<0
и c>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой 
.
3)
Если a<0
, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x — x1)(x — x2), то интеграл вида рационализируется подстановкой 
Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,
т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.
К оглавлению раздела