Геометрические приложения поверхностных интегралов
С помощью поверхностных интегралов вычисляются
- Площадь поверхности;
- Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.
Площадь поверхности Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной
поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом
Если поверхность S
задана параметрически с помощью вектора 
то площадь поверхности будет равна 
где D(u,v) − это область, в которой задана
поверхность. Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y),
то площадь поверхности выражается формулой 
где D(x,y) − проекция поверхности S
на плоскость xy. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью Предположим,
что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда
объем тела определяется по формуле 
Полное приращение и полный дифференциал ФНП Полным приращением функции двух
переменных z= f (x, y) в точке (x, y),
вызванным приращениями аргументов и , называется
выражение .
С
точностью до 0,001 вычислить интеграл 
Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.
Разложение функции cosx имеет вид:
Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 — cosx:
В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей — от 0 до бесконечности. Это — не ошибка, так получается в результате преобразования.
Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.
Теперь представим наш интеграл в виде:
В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).
К оглавлению раздела