Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Решение. Площади заданной поверхности равна Переходя к полярным координатам, находим ответ:

Пример Найти площадь полусферы радиуса R. Производные ФНП высших порядков

Решение. В сферических координатах поверхность верхней полусферы описывается в виде где (рисунок 1). Вычислим дифференциальный элемент площади. Найдем векторное произведение данных векторов: Следовательно, элемент площади будет равен Отсюда вычисляем площадь полусферы:

Рис.1		Рис.2

Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора . 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .