Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Геометрические приложения поверхностных интегралов

Пример Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Решение. Параметрические уравнения тора имеют вид (рисунок 2): Убедимся, что эти уравнения правильно описывают окружность в сечении тора. Действительно, поскольку , то после подстановки получаем Таким образом, поверхность тора описывается следующим вектором: Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой Входящее в эту формулу векторное произведение имеет вид Тогда модуль векторного произведения равен Отсюда находим площадь поверхности тора: Векторное поле Поток векторного поля через поверхность

Интегрирование рациональных дробей.

 

 

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x⁵ — 8x⁴ — 25x³ + 20x² — 76x — 7 3x³ — 4x² — 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² — 76x - 7

9x³ — 12x² — 51x +18

20x² — 25x — 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x³ — 4x² — 17x + 6 x - 3

3x³ – 9x² 3x² + 5x - 2

5x² – 17x

5x² – 15x

- 2x + 6

-2x + 6

0

Таким образом 3x³ — 4x² — 17x + 6 = (x — 3)(3x² + 5x — 2) = (x — 3)(x + 2 )(3x — 1). Тогда: