Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Несобственные интегралы

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов: По определению несобственного интеграла получаем Исследуем первый интеграл.

Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится.

Пример Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

Решение. Запишем интеграл в виде следующей суммы: Используя определение несобственного интеграла, получаем

Как видно, оба предела существуют и конечны. Следовательно, искомый интеграл сходится. Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

 

Интеграл вида если функция R является нечетной относительно sinx.

 

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда