Метод замены переменной
Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением
где x = g
(u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x)
описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал
dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du
. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
Пример Вычислить 
.
.
Тогда 
. Следовательно, интеграл
принимает вид 
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
К оглавлению раздела