Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Тройные и двойные интегралы при решении задач

Интегральный признак Коши

Пример Определить, сходится или расходится ряд .

Решение. Вычислим соответствующий несобственный интеграл: Таким образом, данный ряд расходится.

Пример Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Оценим несобственный интеграл Сделаем замену : . Тогда . Находим значение интеграла: Поскольку данный интеграл расходится, то ряд также расходится.

Пример Исследовать ряд на сходимость. Определители и матрицы

Решение. Заметим, что . Тогда по признаку сравнения получаем Используя интегральный признак, оценим сходимость ряда : Поскольку несобственный интеграл сходится, то исходный числовой ряд также сходится.

Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos²j + r²sin²j = r², т.е. функция r = f(j) = r, тогда